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更好地学会做策略选择:博弈生存-第6部分
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表 3…1 （16；10，9，7，3，1，1）体制下Saha 国各省权力指数
地区
票数
权力指数
权力指数比（％）
Alice
10
16
33．3
Bline
9
16
33．3
Cinda
7
16
33．3
Duho
3
0
Eho
1
0
Frida
1
0
“权力指数比是什么？”总统问。
“权力指数也称为归一化的权力指数。如果我们用百分比来分析投票过程中各投票者的权力所占的比例。对于n个人，每人的权力指数为c1，c2 ……cn ，则投票者j的权力指数比为：rj= cj/（c1 ＋c2＋…… cn）
由上面这个公式我们就能算出各个投票者的权力指数比例。一个极端的情况是，如果一投票者拥有51或以上的股份则他拥有100％的权力，而其他投票者拥有的权力为0％。”班扎夫说。
一个国家的权力分配故事与班扎夫权力指数（2）
“哦，原来是这样。这确实不太公平。有什么办法改变这样的状况？”总统问。
“可以的，总统先生。”班扎夫说，“您有什么具体要求？”
“首先，人数多的地区，权力要大些；其次，人数少的地区也能有一定的权力。当然，最好不要作太多的修改，否则很难实施。大致是这些吧。”总统想了想说：“不过现在首要的是要增加人数少的三个地区的权力。否则太不公平了。”
“要绝对公平很难，重新分配票还要经过各省份之间进行平衡和争吵。”班扎夫边说边思考，“这样吧，我给出一个简单的方案。”
班扎夫考虑了一下说：“多给Alice地区两张票吧。这样就能使得其他票数不变的情况下增加三个弱小地区的权力。”
“这样行吗？”总统怀疑地说。
“可以的，”班扎夫解释说，“原来的总票数为31，获得16张票就赢。而现在的总票数为33，获得17票才能赢。这样权力指数就发生了变化。”
“怎么个变化法？”
“让我计算一下。”
班扎夫掏出笔认真地计算起来，以确保无误。过了一会儿，班扎夫说：“这个方案看样子能行得通。”说着，他拿出计算结果给总统看：
表3…2 （17；12，9，7，3，1，1）体制下Saha国各省权力指数
地区
票数
权力指数
权力指数比（％）
Alice
12
18
Bline
9
14
Cinda
7
14
Duho
3
2
Eho
1
2
Frida
1
2
总统看着班扎夫给他的各省份权力指数的结果，自言自语地说：“对于Frida来说，它在‘Alice…Duho…Eho…Frida’和‘Bline…Cinda…Frida’两个联盟中起关键作用，即它的加入能使这两个联盟获胜，若背离则使得它们落败。因此它的权力指数为2。Duho和Eho和Frida都得到了改进。”
总统对班扎夫说：“它确是一个改进了的可行的方案。但不知道能不能说服国会给以通过。我试试办吧。谢谢你了。”
在Saha国的权力分配故事中所提到的权力指数，是班扎夫于1965年提出的。夏普里—舒比克权力指数提出最早（1954），但不太直观，班扎夫给出了一种不同的计算权力的方法，由这个方法得到的权力指数被学术界称为班扎夫权力指数。
班扎夫权力指数的意思是，某个投票者的权力体现在，他能通过自己加入一个要失败的联盟而使得它获胜，这同时也意味着他能通过背弃一个本来要胜利的联盟而使得它失败。这就是说，他是这个联盟的“关键加入者”；而他的权力指数就是他是关键加入者的获胜联盟的个数。
我们用一个简单的例子来说明如何计算班扎夫权力指数。有A、B、C三个人，A有两票，B、C各有一票，这三个人组成一个群体，对某项议题进行投票，假定此时赢的规则服从“大多数”规则，即若获得3票，即得到通过。他们各自的权力有多大？
对各自的权力指数进行分析时，起作用的是获胜联盟的“关键加入者”。对于该问题，获胜的联盟有：AB，AC，ABC。而对于这三个可能获胜的联盟来说，A在AB、AC和ABC中均是关键加入者，所以他的权力指数是3。而对于B来说，他是联盟AB的关键加入者，所以他的权力指数为1。而对于C来说，他与B一样只是一个联盟的关键加入者，即联盟AC，他的权力指数是1。因此A、B、C的权力指数之比是3∶1∶1。
在前面“*的”妻子的幽默中，如果用权力指数来分析，获胜联盟有两个：妻子—丈夫；妻子。而在这两个联盟中，妻子是这两个联盟的关键加入者，即她的权力指数为2。丈夫不是任何联盟的关键加入者，他的权力指数为0。
由这两个例子可看到，权力指数和票数不是一回事。权力指数是真正权力的一个反映，而票数只是一个虚假的指标而已。因此，我们在设计具体的投票制度、分配票数时要考虑并计算权力指数。我们要在票数上体现各个投票者以我们设计的权力。
夏普里—舒比克权力指数
夏普里—舒比克权力指数是最早提出的计算权力大小的一种指数。该权力指数是夏普里和舒比克在1954的一篇文章“评价委员会中权力分布的一个方法” 11中提出的。
在投票中，投票人的力量或权力体现在他作为投票关键者而使提案得以通过，而提案被通过的场合很多。一个投票人在很多场合下都是作为关键投票者出现，他的权力就大；一个投票人他在很少的场合下作为关键投票者出现，他的权力就小。那么，可考虑的这些场合共有多少种呢？夏普里和舒比克认为，若投票人有n个人，共有n！个可能的场合。这是夏普里—舒比克权力指数的思想。由此可见，夏普里和舒比克用投票人的排列数作为出现的各个可能的情况，不同于班扎夫的获胜联盟数。
我们举例来说明夏普里—舒比克权力指数的计算方法。
考虑这样一个例子：有A、B、C三个人，A有两票，B、C各有一票，这三个人组成一个投票群体，假定该决策群体的决策的规则是“大多数”规则，即某提案若获得3票，则可得到通过；反之则得不到通过。他们各自的权力有多大？
我们用（3；2，1，1）表示上述投票博弈。（3；2，1，1）表示：一个议案需要的最少3张票；三个投票人分别拥有的票数为2、1、1。
根据夏普里—舒比克权力指数的计算方法，我们将A、B、C的可能排列写出来，并确定各种可能的排列下的关键加入者。每个投票人作为关键加入者的个数与可能的排列数之比率，即得出了各个投票人的权力大小。
表3…3。投票体（3；2，1，1）的可能排列与关键加入者
可能的排列
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
关键加入者
B
C
A
A
A
A
从上表得出，φ（A）=4/6；φ（B）=φ（C）=1/6。即A的权力指数为4/6；B和C的权力指数相等，均为1/6。
这种方法计算出来的权力指数被称为夏普里…舒比克权力指数。该权力指数为归一化的，想当于上面所给出的班扎夫权力指数比。
夏普里与舒比克预设了，所有排列的顺序是等可能的，在每一个排列下，每个参与人对这个排列有一个边际贡献，若参与人使提案得以通过，他的边际贡献为1，若参与人不能使提案得到通过，他的边际贡献为0。一个投票人在很多情况下都作为关键人物出现，表明他在很多情况下对提案通过的贡献大，自然他的权力就大，反之就小。根据这种方法计算出来的数值能够反映决策群体中各个投票人的权力大小。
夏普里—舒比克权力指数是最早提出的计算权力大小的指数，它的提出在本人看来意义重大。它使我们看到了以前没有看到的东西。我们举一个实际中出现的例子。
1958的欧共体总共有6国，它们是法国、德国、意大利、荷兰、比利时和卢森堡。这些国家对相关的经济问题进行决策。法国、德国和意大利的票数为4张，荷兰、比利时为2张，卢森堡为1张。总票数为17张。投票规则为2/3多数，即一个议案获得17张中的12张或以上就获得通过。让我们根据夏普里—舒比克权力指数来分析欧共体各国的权力。
投票体可表示为（12；4，4，4，2，2，1）。下表为各国的票数与夏普里—舒比克权力指数：
表3…4 1958年欧共体各国的权力分析
国家
德国
法国
意大利
比利时
荷兰
卢森堡
票数
4
4
4
2
2
1
权力指数
14/60
14/60
14/60
9/60
9/60
0 从上表中可看到，卢森堡尽管有1张票，但其权力为0，即尽管卢森堡的财政部长每次都在投票，但他在任何情况下对议案均不会产生任何影响。卢森堡完全是一个摆设！它作为傀儡而存在！
夏普里与舒比克分析了联合国安理会的权力分布。1965前联合国安理会有5个常任理事国和6个非常任理事国。常任理事国有否决权，非常任理事国无否决权。联合国安理会规定，一个提案通过的条件是：有7张赞成票且5个常任理事国无否决票。夏普里与舒比克用他们的方法计算出，5个常任理事国的权力指数之和为，6个非常任理事国的权力指数之和为。12据夏普里与舒比克的分析，美国总统与参议院及众议院的权力指数之比为2∶5∶5，而总统与一个参议员、一个众议员的权力比为：350∶9∶2。就是说，美国总统的权力几乎是一位参议员的权力指数的40倍，是众议员的175倍。
夏普里—舒比克权力指数也可用于经济分析。夏普里与舒比克在《评价委员会中权力分布的一个方法》中说：一个有股份40％的股东，其权力为各拥有的400个股东的每个股东权力的1000倍，尽管股份比为400：1。
经过博弈论专家的研究，夏普里—舒比克权力指数与班扎夫权力指数是等价的。
聪明的股东：班扎夫权力指数的应用
班扎夫权力指数比夏普里—舒比克权力指数直观，我们在下面举一个班扎夫权力指数的应用。
有一个股份公司，有5个股东，他们是A、B、C、D、E。在公司重大决策上，公司法规定，遵循“一股一票原则”——即每个股东的票数与他所持的股数相等，“大多数原则”——某项议案能否通过取决于是否得到51％或以上的票数（或股数）的同意。5个股东均同意这两个原则。
5个股东在公司成立时均拥有相同的股份20％，随着经营的变化，股东的想法出现分化。B、C、D、E想逐渐减持股份，而A想多拥有一些股份。而B、C、D、E又不想让A完全控制公司——根据“大多数原则”拥有51％或以上的股份即有绝对的说话权。
B、C、D、E各减持了3个百分点，A增加了12个百分点。此时A、B、C、D、E拥有的股份分别为32％、17％、17％、17％、17％。
A认真想了想，向B、C、D、E提出各减持1个百分点而他自己拥有36％股份的要求。B、C、D、E想，A拥有36％的股份，不超过50％，不能完全控制该公司，也就同意了A的要求。此时A、B、C、D、E分别拥有的股份为36％、16％、16％、16％、16％。A达到了目的。
为什么A要多持4个百分点的股份？
通过分析，我们看到，A的股份由32％增加到36％，虽然股份仅增加了4个百分点，但他的班扎夫权力指数发生了突变。A占了便宜。
让我们将这5个股东的股份与班扎夫权力指数、班扎夫权力指数比列于下面三个表格。
表3…5 股份的变化与班扎夫权力指数比的变化：股权情况1
股东
股份（％）
班扎夫权力指数
班扎夫权力指数比（％）
A
20
6
20
B
20
6
20
C
20
6
20
D
20
6
20
E
20
6
20表3…6 股份的变化与班扎夫权力指数比的变化：股权情况2
股东
股份（％）
班扎夫权力指数
班扎夫权力指数比（％）
A
32
6
20
B
17
6
20
C
17
6
20
D
17
6
20
E
17
6
20
表3…7 股份的变化与班扎夫权力指数比的变化：股权情况3
股东
股份比（％）
班扎夫权力指数
班扎夫权力指数比例（％）
A
36
14
63．636
B
16
2
9．091
C
16
2
9．091
D
16
2
9．091
E
16
2
9．091
从表3－5至表3－7可见，在5个股东之间平均持股的情况下，即均持有20％的股份，班扎夫权力指数也是平均的。当股份发生偏离时，如股东A持有的股份多几个百分点、其他股东仍持同样的股份，班扎夫权力指数比还不发生变化。从表3－5可看到，当A拥有32％的股份时，班扎夫权力指数还是平均的，在这种股权结构下，对A来说是最不公平的，他拥有的股份是其他股东的近两倍，但权力却一样！
但是当A的股份再有所增加，而其他每个股东降低一个百分点时，班扎夫权力指数比发生突变。A的班扎夫权力指数一下子由6增加到14，班扎夫权力指数比由20％增加到，而其他股东的班扎夫权力指数由6降低到2，班扎夫权力指数比则由20％降到。
A此时虽然不能拥有51％的股份或以上而有100％的决策权，但由于他在决策时作为高获胜联盟中的关键加入者，要比其他4个股东的班扎夫权力指数高得多，因此他的权力比其他股东大得多。
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逻辑结构与投票影响度
为什么在上面“丈夫—妻子”的例子中丈夫与妻子不拥有相同的权力呢？为什么Saha国原来的投票体制（16；9，7，3，1，1）拥有的票数分别为3、1、1的三个省不具有权力呢？上面通过指出投票者在形成获胜联盟中作为“关键加入者”的个数，得出他权力的大小。而这也可从整个群体决策的逻辑结构中分析。
假定妻子是A，丈夫为B，在上述幽默中，对事情决定的逻辑式是：
F=AB＋A＇AKB～＇（3…1）
这里，“F”表示表决结果，“F=1”表示得到通过，“F=0”表示没有通过。“AB”是丈夫B与妻子A意见相同的逻辑项，A＇AKB～＇是他们意见不同的逻辑项。表面上两者有相同的权力，其实（3…1）等值于下式：
F=A （3…2）
从（3…2）中可以看到，妻子是“*者”，在现实中这个丈夫是幸福的“被统治者”。但是在政治生活中，如果出现这样的*的行动结构，*者有绝对的说话权力，而被统治的人民则没有任何发言权，被统治者则是不幸的。
（3…2）是*的一般的表达式，A是*者对某项事情进行表决的值，“A=1”表示他“同意”，“A=0”表示“不同意”。、
例如，假定这个社会由3个人组成：A、B、C，其中A是*者。我们可以将B、C表示进*社会的F=A的逻辑式中，尽管B、C在其中对F的值没有影响：
F=A
=A（B＋〖AKB～〗）（C＋〖AKC～〗）＝ABC＋AB〖AKC～〗＋A〖AKB～〗C＋A〖AKB～〗〖AKC～〗＇JY＇（3…3）
变化后的式子尽管复杂，然而B、C根本不起作用。
3个人的*社会的逻辑式是什么样的呢？假定这3人决定服从“大多数原则”，即对一项决定有二人同意即通过，假定“F=1”表示通过，“F=0”表示否决。“1”表示决策者表示“同意”，“0”表示“不同意”。那么*的逻辑结构是：
F=AB＋AC＋BC（3…4）
要说明的是，“AB”、“AC”、“BC”的意思是“逻辑乘”，如“AB”的取值是：A、B均等于1时取1，A、B有一个取0就得0。而“＋”为“逻辑和”，如“A＋B”的取值为：只要A、B有一个取值为1就为1，A、B取值均为0时为0。
（3…4）与（3…2）完全是不同的。对于（3…4）这样的结构，每个人对结果没有绝对的控制权，而只有部分决定权，A、B、C每个人的权力是均等的。
*的社会是所有投票者都能影响表决结果的社会，不过不同的*方式，群体的大小不同，每个投票者在里面的影响程度不同。
在Saha国，我们分别用A、B、C、D、E、F代表Alice 、Bline、Cinda、Duhe、Eho、Frida六个省份。在原有的投票体制（16；10，9，7，3，1，1）下，获胜的最小联盟为：AB，AC，BC。
在本人看来，用最小获胜联盟来衡量个体在集体投票行动或博弈中的权力可能更合适，因为在最小获胜联盟中，每个投票者都是关键加入者，计算此时每个参与人作为关键加入者的个数是合理的，而在非最小获胜联盟中某个非关键加入者对联盟没有贡献，应当将它删去。
最小获胜联盟可用逻辑的方法来表示，各个最小联盟的“逻辑和”构成一个投票博弈的结构。Saha国原来的投票体制（16；10，9，7，3，1，1）的逻辑结构为：
F=AB＋AC＋BC （3…5）
它与三个人的投票体制的逻辑结构是一样的。而在新的投票体制（17；12，9，7，3，1，1）下，�
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